Thèse Espace de Modules des Surfaces Csck H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Bretagne Occidentale École doctorale : École doctorale Mathématiques & Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication en Bretagne Océane Laboratoire de recherche : Laboratoire de mathématiques de Bretagne Atlantique Direction de la thèse : Carl TIPLER Date limite de candidature : 2026-05-15T00:00:00
Les "espaces de modules" sont des objets qui classifient
certaines structures/espaces en géométrie. L'exemple typique
est celui de l'espace des modules des courbes de genre g,
introduit par Riemann, et encore étudié de nos jours.
Pour les objets de dimension supérieure cependant, la théorie
est encore incomplète. On sait qu'il existe des espaces de
modules de surfaces (complexes), mais leur géométrie est
encore loin d'être comprise.
Le projet de cette thèse est d'avancer dans l'étude des
compactifications potentielles pour les espaces de modules de
surfaces K-stables, ou à courbure scalaire constante
kahlérienne (cscK). De tels espaces ont été construits
récemment par Dervan et Naumann, mais ne sont pas
compactes, ce qui ne permet pas une bonne étude globale
(cohomologie, théorie de l'intersection, etc). Afin de les
compactifier, l'idée est de produire des surfaces cscK
singulières qui apparaissent comme dégénérations des
surfaces cscK lisses.
La méthode employée reposera sur les travaux récents de
Boucksom et son équipe, et une méthode analytique
perturbative déjà employée par Lars Sektnan, co-directeur du
projet, et Carl Tipler, porteur du projet.

Dans un premier temps, l'étudiant devra construire des
métriques cscK sur des surfaces réglées singulières, dans des
classes adiabatiques. La géométrie de ces objets est très
proche de celle des courbes stables, pour lesquelles on
connaît déjà l'existence de métriques cscK.
Dans un second temps, il faudra démontrer que ces surfaces
réglées cscK se déforment vers des surfaces réglées lisses,
pour montrer qu'elles sont bien sur le bord de l'espace des
modules considérées.
Enfin, il s'agira d'essayer de généraliser cette construction en
dimension supérieure.