Thèse Peeling Scattering et Équations Non Linéaires H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Bretagne Occidentale École doctorale : École doctorale Mathématiques & Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication en Bretagne Océane Laboratoire de recherche : Laboratoire de mathématiques de Bretagne Atlantique Direction de la thèse : Jean-Philippe NICOLAS Date limite de candidature : 2026-05-15T00:00:00
Dans les années 1960, Roger Penrose a introduit la notion de compactification conforme. L'idée était de proposer une méthode géométrique d'analyse asymptotique des équations de champs sur un espace-temps (donc des équations covariantes hyperboliques). Il a utilisé cette approche pour donner une formulation très simple de la propriété de peeling, un type de comportement asymptotique des champs sans masse découverte par Sachs et formulée initialement de façon compliquée comme l'alignement des directions isotropes principales des termes d'un développement asymptotique du champ le long d'une géodésique isotrope. Penrose a aussitôt proposé d'utiliser la méthode conforme pour décrire l'évolution des solutions des équations d'Einstein: on fixe des données à l'infini isotrope passé pour résoudre le problème de Cauchy caractéristique pour les équations d'Einstein et on propage la solution jusqu'à l'infini isotrope futur. Ceci l'a amené à introduire le cadre géométrique naturel pour une telle description et pour le peeling pour les équations d'Einstein: les espaces-temps asymptotiquement simples. Il a décrit cette classe d'espace-temps comme un modèle générique d'espace-temps asymptotiquement plat, ce qui a immédiatement causé une levée de bouclier parmi la communauté relativiste, les gens lui opposant le fait que la métrique de Schwarzschild a une structure asymptotique radicalement différente de celle de l'espace-temps de Minkowski. L'idée dominante était que cela entrainerait des conditions beaucoup plus restrictives sur les données initiales pour assurer le peeling de champs test et a fortiori pour les solutions des équations d'Einstein voisines de Schwarzschild. Autrement dit, la régularité asymptotique des espaces-temps asymptotiquement simples n'est probablement pas une propriété générique.

Lionel Mason et moi avons reformulé intégralement l'étude du peeling en termes d'analyse géométrique de façon à généraliser la notion à toutes les régularités intermédiaires. Ceci nous a permis de démontrer que la proposition de Roger Penrose est en fait valide pour les métriques de Schwarzschild et de Kerr et pour certaines équations linéaires type, donnant une indication de sa validité générale. Pour les équations non linéaires, le peeling a été étudié avec mon étudiant Pham Truong Xuan pour une équation d'onde non linéaire conformément invariante en métrique de Kerr, mais les équations plus complexes, comme celles admettant des non linéarités satisfaisant une condition nulle de Klainerman, n'ont pas été étudiées.

L'objectif de la thèse sera d'étendre l'étude du peeling à des équations non linéaires de type système de jauge (Maxwell-ondes, Yang-Mills) ou admettant une condition nulle. C'est un projet ambitieux et vaste, permettant de nombreuses études de difficultés variées. L'étudiant pourra obtenir assez rapidement de nouveaux résultats tout en apprenant les bases importantes de la théorie.

La thèse s'inscrira dans les thématiques du projet ANR ScattHoloGR et l'étudiant(e) sera associé(e) au projet et pourra bénéficier des événements organisés dans le cadre du projet (fin du projet: décembre 2029).

Le projet fait partie d'un programme de recherche sur le comportement asymptotique des champs en relativité générale. Le peeling est particulièrement crucial dans la mesure où il donne une information précise sur la régularité transverse à l'infini et si on l'applique à la gravité elle-même il décrit la régularité du bord conforme de l'espace-temps. De nombreuses descriptions du peeling existent, souvent techniques et la traduction d'une approche à l'autre n'est pas facile et rarement exacte. En conséquence, les confusions initiales perdurent dans le folklore de la communauté relativiste et il est aussi important de diffuser des informations claires sur le peeling que de continuer à développer la recherche sur le sujet.